Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設AA₁=2．M，N分別是C₁D₁，CC₁的中點．
（1）求異面直線A₁N與MC所成角的余弦值；
（2）設P為線段AD上任意一點，求證：MC⊥PN．

Answer 1

解：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA、DC、DD₁兩兩互相垂直，
∴以D為原點，分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系
可得D（0，0，0），A（2，0，0），A₁（2，0，2），C（0，2，0），M（0，1，2），N（0，2，1）
∴向量=（-2，2，-1），=（0，1，-2）
根據空間向量的夾角公式，得cos＜，＞==
設異面直線A₁N與MC所成角為θ
可得cosθ=|cos＜，＞|=，即異面直線A₁N與MC所成角的余弦值為；
（2）由（1）中所建立的坐標系，得
∵P為線段AD上任意一點，
∴設P（x，0，0），其中x∈[0，2]
可得=（-x，2，1）
∵=（0，1，-2），
∴•=0×（-x）+1×2+（-2）×1=0
由此可得⊥，即P為線段AD上任意一點，都有MC⊥PN成立．
分析：（1）以D為原點，分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系．可得D、A、A₁、C、M、N各點的坐標，從而得到向量和的坐標，利用空間向量的夾角公式算出和夾角的余弦之值，即可得到異面直線A₁N與MC所成角的余弦；
（2）根據（1）所建立的坐標系，設P（x，0，0），從而得到的坐標，再求出向量的坐標，從而算得•=0，由此可得⊥，即得MC⊥PN成立．
點評：本題給出正方體棱的中點，求證直線與直線垂直并求異面直線所成角，著重考查了正方體的性質、空間垂直位置關系的證明和異面直線所成角的求法等知識，屬于基礎題．