Question

根據氣象預報,某地區近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01.該地區某工地上有一臺大型設備,遇到大洪水時要損失60 000元,遇到小洪水時要損失10 000元.為保護設備,有以下3種方案:

方案一:運走設備,搬運費為3 800元.

方案二:建保護圍墻,建設費為2 000元.但圍墻只能防小洪水.

方案三:不采取措施,希望不發生洪水.

試比較哪一種方案好?

Answer 1

分析本題考查離散型隨機變量的分布列,準確把握隨機變量的取值是解題的關鍵.

解 用x₁、x₂和x₃分別表示三種方案的損失.

采用第一種方案,無論有無洪水,都損失3 800元,即x₁=3 800.

采用第二種方案,遇到大洪水時,損失2 000+60 000=62 000元;沒有大洪水時,損失2 000元,即

同樣,采用第三種方案,有

于是,

Ex₁=3 800,

Ex₂=62 000×P(x₂=62 000)+2 000×P(x₂=2 000)=62 000×0.01+2 000×(1-0.01)=2 600,

Ex₃=60 000×P(x₃=60 000)+10 000×P(x₃=10 000)+0×P(x₃=0)=60 000×0.01+10 000×0.25=3 100.

采用方案二的平均損失最小,所以可以選擇方案二.

點評：值得注意的是,上述結論是通過比較“平均損失”而得出的.一般地,我們可以這樣來理解 “平均損失”:假設問題中的氣象情況多次發生,那么采用方案二將會使損失減到最小.由于洪水是否發生以及洪水發生的大小都是隨機的,所以對于個別的一次決策,采用方案二也不一定是最好的.