Question

已知函數f（x）=2（-）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）的奇偶性；
（3）解不等式f^-1（x）＞1．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求原函數的反函數，即從原函數式y=f（x）中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數的解析式．
（2）欲判定f^-1（x）的奇偶性，只須看看f^-1（x）與f^-1（-x）的關系即可；
（3）欲解log_a＞1，先對a進行分類討論，結合對數函數的單調性去掉對數符號轉化為分式不等式求解即可．
解答：解：（1）化簡，得f（x）=．
設y=，則a^x=．
∴x=log_a．
∴所求反函數為
y=f^-1（x）=log_a（-1＜x＜1）．
（2）∵f^-1（-x）=log_a=log_a（）^-1=-log_a=-f^-1（x），
∴f^-1（x）是奇函數．
（3）log_a＞1．
當a＞1時，
原不等式⇒＞a⇒＜0．
∴＜x＜1．
當0＜a＜1時，原不等式
解得
∴-1＜x＜．
綜上，當a＞1時，所求不等式的解集為（，1）；
當0＜a＜1時，所求不等式的解集為（-1，）．
點評：本題主要考查了反函數、函數奇偶性的判斷、對數函數的性質及分類討論的數學思想等，屬于中檔題．