Question

（2013•鹽城一模）已知函數f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，          x≥2

，若關于x的方程f（x）=kx（k＞0）有且僅有四個根，其最大根為t，則函數g（t）=

25

24

t2-6t+7的值域為

[-

41

25

，-1）

．

Answer 1

分析：同一坐標系內作出函數y=f（x）的圖象和直線y=kx，因為兩圖象有且僅有四個公共點，得出最大根t的取值范圍．再利用二次函數的性質，即可得到函數g（t）=

25

24

t2-6t+7的值域．

解答：解：作出函數f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，          x≥2

，當0≤x＜4時的圖象，如右圖中紅色的三個半圓．
將直線y=kx圍繞坐標原點進行旋轉，可得當直線介于與第二個半圓相切和與第三個半圓相切之間時，兩圖象有且僅有四個不同的公共點，
此時，其最大根t∈（

8

3

，

72+8 6

25

），
則函數g（t）=

25

24

t2-6t+7，t∈（

8

3

，

72+8 6

25

）的值域為[-

41

25

，-1）．
故答案為：[-

41

25

，-1）．

點評：本題以分段函數為例，求方程的最大根，并且用這個根來求值域，著重考查了函數與方程的關系，以及數形結合思想，屬于中檔題．