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(2013•鹽城一模)D.(選修4-5:不等式選講)
設a1,a2,…an 都是正數,且 a1•a2…an=1,求證:(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n
分析:根據基本不等式,得1+a1≥2
a1
,1+a2≥2
a2
,…,1+an≥2
an
.再由不等式的各項都大于0,將此n個不等式左右兩邊對應相乘,結合a1•a2…an=1即可證出要證明的不等式成立.
解答:解:∵a1>0,∴根據基本不等式,得1+a1≥2
a1

同理可得,1+a2≥2
a2
,1+a3≥2
a3
,…,1+an≥2
an

注意到所有的不等式的兩邊都是正數,將這n個不等式的左右兩邊對應相乘,得
(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an)≥2n
a1a2a3an

∵a1•a2…an=1,
∴(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an)≥2n•1=2n,即原不等式成立.
點評:本題給出n個正數a1、a2、…an,求證關于a1、a2、…an 的一個不等式恒成立.著重考查了不等式的基本性質和運用基本不等式證明不等關系成立的知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•鹽城一模)已知f(x)=(2+
x
)n
,其中n∈N*
(1)若展開式中含x3項的系數為14,求n的值;
(2)當x=3時,求證:f(x)必可表示成
s
+
s-1
(s∈N*)的形式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•鹽城一模)若數列{an}是首項為6-12t,公差為6的等差數列;數列{bn}的前n項和為Sn=3n-t.
(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;
(2)若數列{bn}是等比數列,試證明:對于任意的n(n∈N,n≥1),均存在正整數Cn,使得bn+1=a cn,并求數列{cn}的前n項和Tn
(3)設數列{dn}滿足dn=an•bn,且{dn}中不存在這樣的項dt,使得“dk<dk-1與dk<dk+1”同時成立(其中k≥2,k∈N*),試求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•鹽城一模)如圖,在等腰三角形ABC中,底邊BC=2,
AD
=
DC
AE
=
1
2
EB
,若
BD
AC
=
1
2
,則
CE
AB
=
0
0

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•鹽城一模)在△ABC中,若9cos2A-4cos2B=5,則
BC
AC
的值為
2
3
2
3

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