Question

已知函數f(x)=sin(ωx+φ)，(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)的最小正周期為π，且點A(

π

3

，1)在函數的圖象上．
（1）確定函數f（x）的表達式，求f（x）取得最大值時x的取值集合；
（2）求函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）通過函數的周期求出ω，利用點在函數的圖象上，ω代入函數的方程，求出φ的值，確定函數f（x）的表達式，通過正弦函數的最值求f（x）取得最大值時x的取值集合；
（2）直接利用正弦函數的單調增區間，求函數f（x）的單調增區間即可．

解答：解：（1）依題意得T=

2π

ω

=π，∴ω=2…（2分）     
 將點A(

π

3

，1)代入f（x）=sin（2x+φ）得sin(

2π

3

+φ)=1，
∴

2π

3

+φ=2kπ+

π

2

，∴φ=2kπ-

π

6

，
∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=-

π

6

…（5分）
所以f(x)=sin(2x-

π

6

)，
當2x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

3

，(k∈Z)時f（x）取得最大值，
些時x的取值集合是{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}…（8分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，(k∈Z)…（10分）
所以函數f（x）的單調增區間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，(k∈Z)…（12分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，函數的最值的應用，單調增區間的求法，考查計算能力．