Question

（2013•上海）設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=9x+

a2

x

+7．若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為

a≤-

8

7

．

．

Answer 1

分析：先利用y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)求出x≥0時(shí)函數(shù)的解析式，將f（x）≥a+1對一切x≥0成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范圍．

解答：解：因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0；
當(dāng)x＞0時(shí)，則-x＜0，所以f（-x）=-9x-

a2

x

+7
因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（x）=9x+

a2

x

-7；
因?yàn)閒（x）≥a+1對一切x≥0成立，
所以當(dāng)x=0時(shí)，0≥a+1成立，
所以a≤-1；
當(dāng)x＞0時(shí)，9x+

a2

x

-7≥a+1成立，
只需要9x+

a2

x

-7的最小值≥a+1，
因?yàn)?x+

a2

x

-7≥2

9x• a2 x

-7=6|a|-7，
所以6|a|-7≥a+1，
解得a≥

8

5

或a≤-

8

7

，
所以a≤-

8

7

．
故答案為a≤-

8

7

．
．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的求法；考查解決不等式恒成立轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值；利用基本不等式求函數(shù)的最值．