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在△ABC中，點(diǎn)G為中線AD上一點(diǎn)，且AG=
12
AD過點(diǎn)G的直線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE=mAB，AF=nAC，則m+3n的最小值為
 
．
分析：如圖所示，利用向量的運(yùn)算法則可得
MG
=
AG
-
AM
=(
1
4
-m)
AB
+
1
4
AC
．
NG
=
AG
-
AN
=
1
4
AB
+(
1
4
-n)
AC
．再利用向量共線定理可得，存在實(shí)數(shù)t使得
MG
=t
NG
，利用向量相等即可得出：
1
m
+
1
n
=4．再利用基本不等式即可得出m+3n的最小值．
解答：解：如圖所示，精英家教網(wǎng)
MG
=
AG
-
AM
=
1
2
AD
-m
AB
=
1
2
×
1
2
(
AB
+
AC
)-m
AB
=(
1
4
-m)
AB
+
1
4
AC
．
NG
=
AG
-
AN
=
1
2
AD
-n
AC
=
1
2
×
1
2
(
AB
+
AC
)-n
AC
=
1
4
AB
+(
1
4
-n)
AC
．
∵
MG
與
NG
共線，∴存在實(shí)數(shù)t，使得
MG
=t
NG
，
∴(
1
4
-m)
AB
+
1
4
AC
=t[
1
4
AB
+(
1
4
-n)
AC
]，
∴
1
4
-m=
1
4
t，
1
4
=t(
1
4
-n)，
消去t可得：
1
m
+
1
n
=4．
∵m＞0，n＞0，
∴m+3n=
1
4
(
1
m
+
1
n
)(m+3n)=
1
4
(4+
m
n
+
3n
m
)≥
1
4
(4+2
m
n
•
3n
m
)=2+
3
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)m=
3
n=
3
+1
4
時(shí)取等號．
因此m+3n的最小值為
3
2
+1．
故答案為：
3
2
+1．
點(diǎn)評：本題綜合考查了向量的運(yùn)算法則、向量共線定理、向量相等、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選考題
請從下列三道題當(dāng)中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，請?jiān)诖痤}卷上注明題號．
22-1設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|
（1）解不等式f（x）≤5x+1；
（2）若g(x)=
1
f(x)+m
定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
22-2如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ACD的外接圓交BC于E，AB=2AC，
（1）求證：BE=2AD；
（2）當(dāng)AC=1，BC=2時(shí)，求AD的長．
22-3已知P為半圓C：
x=cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與半圓C上的弧AP的長度均為
π
3

（1）求以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；
（2）求直線AM的參數(shù)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，點(diǎn)B（0，1），直線AD：2x-y-4=0是角A的平分線．直線CE：x-2y-6=0是AB邊的中線．
（1）求邊AC的直線方程；
（2）圓M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自點(diǎn)C向圓M引切線CF，CG，切點(diǎn)為F、G．求：
CF
•
CG
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇期中題 題型：解答題

在△ABC中，點(diǎn)B（0，1），直線AD：2x﹣y﹣4=0是角A的平分線．直線CE：x﹣2y﹣6=0是AB邊的中線．
（1）求邊AC的直線方程；
（2）圓M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自點(diǎn)C向圓M引切線CF，CG，切點(diǎn)為F、G．求：的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省南京27中高三（上）學(xué)情分析數(shù)學(xué)試卷（08）（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，點(diǎn)B（0，1），直線AD：2x-y-4=0是角A的平分線．直線CE：x-2y-6=0是AB邊的中線．
（1）求邊AC的直線方程；
（2）圓M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自點(diǎn)C向圓M引切線CF，CG，切點(diǎn)為F、G．求：的取值范圍．

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