Question

如果關于實數x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數解，那么實數a的取值范圍為______．

Answer 1

將方程ax2+

1

x

=3x改寫為

1

x

=3x-ax2，令y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“關于實數x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數解”等價于“雙曲線y1=

1

x

與y₂=3x-ax²的圖象在y軸右側只有一個交點”．
雙曲線y1=

1

x

在第一、三象限內．
當a＞0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向下且過原點（0，0）及x軸正半軸上的點(

3

a

，0)，研究知，當a＜2時，雙曲線y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內有兩個交點，當a＞2時，兩曲線在第一象限無交點，當a=2進，兩曲線僅有一個交點，故a=2符合題意．
當a=0時，y₂=3x-ax²=3x為直線，此時，雙曲線y1=

1

x

與直線y₂=3x在第一象限內只有一個交點，故a=0符合題意．
當a＜0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向上且過原點（0，0）及x軸負半軸上的點(

3

a

，0)，此時，雙曲線y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內僅有一個交點，故a＜0符合題意．
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，0]∪{2}．
故答案為：（-∞，0]∪{2}．