Question

如果關于實數x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數解，那么實數a的取值范圍為（　　）

A．{a|-2≤a≤2}

B．{a|a≤0或a=2}

C．{a|a≥2或a＜-2}

D．{a|a≥0或a=-2}

Answer 1

分析：原條件?a=

3

x

-

1

x3

有且僅有一個正實數解，令

1

x

=t(t≠0)，t的符號與x的符號一致，則a=-t³+3t有且僅有一個正實數解，然后通過導數研究函數的單調性和極值，畫出函數圖象，結合圖象可求出a的取值范圍．

解答：解：關于實數x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數解?a=

3

x

-

1

x3

有且僅有一個正實數解．
令

1

x

=t(t≠0)，t的符號與x的符號一致，則a=-t³+3t有且僅有一個正實數解，
令f（t）=-t³+3t（t≠0），
f′（t）=-3t²+3，由f′（t）=0得t=1或t=-1．
又t∈（-1，1）時，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（1，+∞）時，
f′（t）＜0．所以[f（t）]_極大值=f（1）=2．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
結合三次函數圖象即可．
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，0]∪{2}．
故選B．

點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷，以及三次函數的性質，同時考查了數形結合與函數方程的思想，屬于中檔題．