Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，滿足f′（2-x）=f′（x）．
（Ⅰ）設(shè)g（x）=x

f′(x)

，m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=lnf′（x）=，若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′（x）=x²+2bx+c，由f′（2-x）=f′（x），解得b=-1．由直線y=4x-12與x軸的交點為（3，0），解得c=1，d=-3．由此能求出函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值．
（Ⅱ）h（x）=ln（x-1）²=2ln|x-1|，，則h（x+1-t）=2ln|x-t|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，由當x∈[0，1]時，|2x+1|=2x+1，知不等式2ln|x-t|＜2ln|2x+1|恒成立等價于|x-t|＜2x+1，且x≠t恒成立，由此能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）f′（x）=x²+2bx+c，
∵f′（2-x）=f′（x），
∴函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則b=-1．
∵直線y=4x-12與x軸的交點為（3，0），
∴f（3）=0，且f′（x）=4，
即9+9b+3c+d=0，且9+6b+c=4，解得c=1，d=-3．
則f(x)=

1

3

x3-x2+x-3．
故f′（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
g（x）=x

(x-1)2

=x|x-1|=

x2-x，x≥1 x-x2，x＜1

，
如圖所示．當x2-x=

1

4

時，x=

1± 2

2

，根據(jù)圖象得：
（ⅰ）當x＜m≤

1

2

時，g（x）最大值為m-m²；
（ⅱ）當

1

2

＜m≤

1+ 2

2

時，g（x）最大值為

1

4

；
（ⅲ）當m＞

1+ 2

2

時，g（x）最大值為m²-m．  …（8分）
（Ⅱ）h（x）=ln（x-1）²=2ln|x-1|，
則h（x+1-t）=2ln|x-t|，
h（2x+2）=2ln|2x+1|，∵當x∈[0，1]時，|2x+1|=2x+1，
∴不等式2ln|x-t|＜2ln|2x+1|恒成立等價于|x-t|＜2x+1，且x≠t恒成立，
由|x-t|＜2x+1恒成立，得-x-1＜t＜3x+1恒成立，
∵當x∈[0，1]時，3x+1∈[1，4]，-x-1∈[-2，-1]，∴-1＜t＜1，
又∵當x∈[0，1]時，由x≠t恒成立，得t∉[0，1]，
因此，實數(shù)t的取值范圍是-1＜t＜0．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)最大值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法．考查推理論證能力的應(yīng)用，考查計算推導能力．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．