Question

【題目】某個地區計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水的年入流量（年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：十億立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超過12的年份有35年，超過12的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.

（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過12的概率；

（2）若水的年入流量與其蘊含的能量（單位：百億萬焦）之間的部分對應數據為如下表所示：

年入流量	6	8	10	12	14
蘊含的能量	1.5	2.5	3.5	5	7.5

用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；（回歸方程系數用分數表示）

（3）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系：

年入流量
發電機最多可運行臺數	1	2	3

若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

附：回歸方程系數公式：，.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺.

【解析】

（1）計算得到，，，再計算概率得到答案.

（2）利用回歸方程公式直接計算得到答案.

（3）計算概率得到分布列，再計算數學期望得到答案.

（1）依題意，，，

.

由二項分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過12的概率為.

（2），，，，，，

所以關于的線性回歸方程為.

（3）記水電站年總利潤為（單位：萬元）.

①安裝1臺發電機的情形.

由于水庫年入流量總大于4，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤，

.

②安裝2臺發電機的情形.

依題意，當時，一臺發電機運行，此時，

因此；

當時，兩臺發電機運行，此時，

因此.由此得的分布列如下：

	4200	10000
	0.2	0.8

所以，.

③安裝3臺發電機的情形.

依題意，當時，一臺發電機運行，此時，

因此；

當時，兩臺發電機運行，此時，

因此；

當時，三臺發電機運行，此時，

因此.由此得的分布列如下：

	3400	9200	15000
	0.2	0.7	0.1

所以，.

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺.