Question

（2011•崇明縣二模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2+2S_n=3a_n（n∈N^*）．數列bn=

1               n=1 an-1 n         n≥2

．
（1）求證：數列{a_n}為等比數列；
（2）若對于任意n∈N^*，不等式b_n≥（n+1）λ恒成立，求實數λ的最大值；
（3）對于數列{b_n}中值為整數的項，按照原數列中前后順序排列得到新的數列{c_n}，求數列{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由已知中2+2S_n=3a_n，n∈N^*，我們可以得到

an+1

an

=3，根據等比數列的定義，即可得到數列{a_n}為等比數列；
（2）由（1）中結論，我們易求出數列{b_n}的通項公式，下面分類討論：①當n=1時，b₁≥2λ，②n≥2時，令f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，利用f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，（n≥2）為遞增數列．f（n）_min=

1

3

，從而λ的最大值．
（3）根據當n=2k-1（k≥2）時，及當n=2k（k≥1）時，求出c_n的解析式，

解答：解：（1）a₁=2，2+2S_n=3a_n，2+2S_n+1=3a_n+1，
所以2a_n+1=3a_n+1-3a_n，
即：

an+1

an

=3恒成立．
所以，{a_n}為以2為首項，公比為3的等比數列．
（2）b_n=

1               n=1 2×3 n-2 n       n≥2

．
①n=1時，b₁≥2λ，λ≤

1

2

②n≥2時，

2×3 n-2

n

≥（1+n）λ，λ≤

2×3 n-2

n(n+1)

令f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，f（n+1）-f（n）=

4×3 n-2(n-1)

n(n+1)(n+2)

≥0（n≥2）
所以，f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，（n≥2）為遞增數列．f（n）_min=

1

3

，
從而 λ≤

1

3

由①，②知 λ≤

1

3

，所以λ的最大值等于

1

3

．
（3）c₁=1
當n=2k-1（k≥2）時，c_n=2×33 k-1-k-1 
當n=2k（k≥1）時，c_n=32×3 k-1-k-1

點評：本題以數列遞推式為依托，主要考查等比關系的確定，數列的函數特征，數列遞推式，數列與不等式的綜合．其中（1）的關鍵是根據等比數列的定義，證得

an+1

an

為定值，但要注意由限制首項不為0．