Question

（2011•崇明縣二模）若一個無窮等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且

lim

n→∞

S_n=

1

2

，則首項a₁取值范圍是

（0，

1

2

）∪（

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：分若q=1，求

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

na1不存在；q≠1，時，由

lim

n→∞

Sn= 

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

1

2

，可得

a1

1-q

=

1

2

，且-1＜q＜1且q≠0，從而可求

解答：解：設等比數列的首項為a₁，公比為q，
若q=1，則

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

na1不存在
若q≠1，時，

lim

n→∞

Sn= 

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

1

2

∴

a1

1-q

=

1

2

，且-1＜q＜1且q≠0
∴a1=

1

2

(1-q)
∴0＜a1＜1且a1≠

1

2

故答案為：(0，

1

2

)∪(

1

2

，1)

點評：本題主要考查了等比數列的求和公式的應用，要注意對公比分q=1，≠1兩種情況的考慮分別求解數列的和，解題的關鍵是要由若q≠1，由

lim

n→∞

Sn= 

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

1

2

得

a1

1-q

=

1

2

，且-1＜q＜1且q≠0，解答本題時容易漏掉對q≠0的考慮．