Question

（2012•商丘二模）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．
（Ⅰ）當a=0時，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=0時，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x²+2x+1≥4x²，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由題意可得|x+1|-2|x|≥a恒成立，求出h（x）的最大值為1，可得1≥a，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=0時，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x²+2x+1≥4x²，解得-

1

3

≤x≤1，
故不等式的解集為[-

1

3

，1]．
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，即|x+1|-2|x|≥a．
設h（x）=|x+1|-2|x|=

1-x ， x≥0 3x+1 ， -1≤x＜0 x-1 ， x＜-1

．
故當x≥0時，h（x）≤1． 當-1≤x＜0時，-2≤h（x）＜1． 當x＜-1時，h（x）＜-2．
綜上可得h（x）的最大值為1．
由題意可得1≥a，故實數a的取值范圍為（-∞，1]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，求函數的最小值，函數的恒成立問題，屬于中檔題．