Question

【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征和嚴(yán)重急性呼吸綜合征等較嚴(yán)重疾病．而今年初出現(xiàn)并在全球蔓延的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株．人感染了新型冠狀病毒后常見(jiàn)體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等．在較嚴(yán)重病例中感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡．

某藥物研究所為篩查該種病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有（，且）份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)則需要檢驗(yàn)次；

方式二：混合檢驗(yàn)，將份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為．

（1）假設(shè)有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，從中任取3份樣本進(jìn)行醫(yī)學(xué)研究，求至少有1份為陽(yáng)性樣本的概率；

（2）假設(shè)將（且）份血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；

①運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

②若與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，試討論采用何種檢驗(yàn)方式更好？

參考數(shù)據(jù)：．

Answer 1

【答案】（1）（2）①（且）．②當(dāng)時(shí)采用混合檢驗(yàn)方式，且時(shí)采用逐份檢驗(yàn)方式．

【解析】

（1）利用古典概型的概率求至少有1份為陽(yáng)性樣本的概率；

（2）①由題得，根據(jù)得到；②先求出，當(dāng)時(shí)，得到不等式的解，即得當(dāng)時(shí)采用混合檢驗(yàn)方式，且時(shí)采用逐份檢驗(yàn)方式．

（1）由古典概型的概率公式得.

（2）①由已知，得；的所有可能取值為1，，．

．

若，則，．

類于的函數(shù)關(guān)系式為（且）．

②由已知得，數(shù)列是等比數(shù)列，且

，當(dāng)時(shí)，有，

得．

設(shè)，

∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)減．

又；

當(dāng)時(shí)，且時(shí)．

當(dāng)時(shí)采用混合檢驗(yàn)方式，且時(shí)采用逐份檢驗(yàn)方式．