Question

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，以M為

圓心，MF為半徑作圓M.問點(diǎn)M橫坐標(biāo)滿足什么條

件時(shí)，圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)？

（3）設(shè)圓M與y軸交于D、E兩點(diǎn)，

求點(diǎn)D、E距離的最大值.

Answer 1

解：(1)∵橢圓+=1(a＞b＞0)的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，)，

∴，即 ，解得 ，………………3分

∴橢圓C的方程為+=1。………………5分

(2)易求得F(1，0)。設(shè)M(x₀，y₀)，則+=1， 圓M的方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=(1-x₀)²+y₀²，

令x=0，化簡(jiǎn)得y²-2y₀y+2x₀-1=0，⊿=4y₀²-4(2x₀-1)²＞0……①。

將y₀²=3(1-)代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出 -4＜x₀＜故-2≤x₀＜……9分

(3)設(shè)D(0，y₁)，E(0，y₂)，其中y₁＜y₂。由(2)，得

DE= y₂- y₁===，

當(dāng)x₀=-時(shí)，DE的最大值為。………………15分