Question

【題目】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn).為曲線右支上的點(diǎn)，點(diǎn)在外角平分線上，且.若恰為頂角為的等腰三角形，則該雙曲線的離心率為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得齊次式，則問(wèn)題得解.

延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過(guò)作，如下所示：

不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>，且為的角平分線，故可得，

故可得，且為的中點(diǎn)；

因?yàn)?/span>為頂角的等腰三角形，故可得，

由余弦定理可得，

在中，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，故；

根據(jù)雙曲線定義可知：，即；

又；

聯(lián)立可得；

因?yàn)?/span>為頂角的等腰三角形

故在直角三角形中，

則，由勾股定理可得

故可得點(diǎn)坐標(biāo)為，即，代入雙曲線方程可得：

，

整理得：，

同除可得，

分解因式可得，

解得或（舍去負(fù)根），

則.

故選：D.