Question

已知點,直線，動點M在直線的右側，以為圓心的動圓與直線相切，且與以為圓心（半徑與⊙相等）的圓外切。

    （Ⅰ）求點的軌跡方程；

    （Ⅱ）過直線 與軸的交點作直線與點的軌跡交于不同兩點、,求的取值范圍；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設點關于軸的對稱點為,問：直線是否過定點？

        若存在，求此定點的坐標，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設圓的半徑為，則點到直線的距離

                    

                     所以點的軌跡是以為焦點、為準線的雙曲線右支

                    

                     點軌跡方程為

（Ⅱ）設直線的方程為，代入雙曲線方程消去得

          

           設 則此方程由兩個不相等的正實根，

           由得到

          

          

            

          

(Ⅲ)設則

方法1：直線

即，將代入右邊再代入整理得

            

           因此，直線過定點

方法2：              

                             

       直線的方程為

       因此，直線過定點（4，0）.