Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（1）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；
（2）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個實數(shù)根；
（3）設(shè)是方程f（x）-x=0的實數(shù)根，求證：對于f（x）定義域中任意的x₂，x₃，當(dāng)|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）判定函數(shù)是否滿足：“①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（2）證明只有一個的問題，可利用反正法進(jìn)行證明，假設(shè)方程f（x）-x=0存在兩個實數(shù)根α，β（α≠β），然后尋找矛盾，從而肯定結(jié)論．
（3）構(gòu)造f（x）-x，研究函數(shù)f（x）-x的單調(diào)性，從而得到|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，再利用絕對值不等式即可證得．
解答：解：（I）因為，所以f′（x）∈[，]，滿足條件0＜f′（x）＜1，
又因為當(dāng)x=0時，f（0）-0=1＞0，f（π）-π=-1-π＜0，
所以方程f（x）-x=0有實數(shù)根．
所以函數(shù)是的集合M中的元素．（3分）
（II）假設(shè)方程f（x）-x=0存在兩個實數(shù)根α，β（α≠β），
則f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨設(shè)α＜β，根據(jù)題意存在數(shù)c⊆（α，β）
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立．
因為f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，
與已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）-x=0只有一個實數(shù)根；（8分）
（III）不妨設(shè)x₂＜x₃，因為f'（x）＞0，
所以f（x）為增函數(shù)，
所以f（x₂）＜f（x₃），
又因為f'（x）-1＜0，
所以函數(shù)f（x）-x為減函數(shù)，
所以f（x₂）-x₂＞f（x₃）-x₃，
所以0＜f（x₃）-f（x₂）＜x₃-x₂，
即|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，
所以|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-（x₂-x₁）|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2（14分）
點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，反證法，以及不等式的證明，是一道函數(shù)綜合問題，有一定難度，可作為考試的壓軸題．