Question

（1）已知：a，b，x均是正數，且a＞b，求證：；
（2）當a，b，x均是正數，且a＜b，對真分數，給出類似上小題的結論，并予以證明；
（3）證明：△ABC中，（可直接應用第（1）、（2）小題結論）
（4）自己設計一道可直接應用第（1）、（2）小題結論的不等式證明題．

Answer 1

【答案】分析：（1）充分利用a＞b這個條件，結合不等式的基本性質即可證得；
（2）對（1）問的結論取倒數即可得；
（3）欲證原不等式，即證：利用放縮法進行證明即可；
（4）運用類比推理的方法得結論即可．
解答：解：（1）∵，
又（3分）
（2）∵，應用第（1）小題結論，
得，取倒數，得（6分）
（3）由正弦定理，原題?△ABC中，求證：
證明：由（2）的結論得，a，b，c＞0，
且均小于1，
∴，（10分）
（4）如得出：四邊形ABCD中，求證：
如得出：凸n邊形A₁A₂A₃┅A_n中，邊長依次為a₁，a₂，，a_n，求證：
如得出：{a_n}為各項為正數的等差數列，（d≠0），
求證：．（14分）
點評：本題主要考查了不等式的證明、放縮法和類比思想，在證明不等式的時候，在直接證明遇到困難的時候，可以利用不等式的傳遞性，把要證明的不等式加強為一個易證的不等式，即欲證A＞B，我們可以適當的找一個中間量C作為媒介，證明A＞C且C＞B，從而得到A＞B．我們把這種把B放大到C（或把A縮小到C）的方法稱為放縮法．