Question

如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a．
（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接PC，交DE與N，連接MN，所以MN∥AC，再根據線面平行的判定定理可得答案．
（2）以D為空間坐標系的原點，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角．

解答：解：（1）證明：連接PC，交DE與N，連接MN，
在△PAC中，∵M，N分別為兩腰PA，PC的中點
∴MN∥AC，…（2分）
又AC?面MDE，MN?面MDE，
所以 AC∥平面MDE．…（4分）
（2）以D為空間坐標系的原點，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則P（0，0，

2

a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
所以

PB

=(a，a，-

2

a)，

BC

=(-a，a，0)，…（6分）
設平面PAD的單位法向量為

n1

，則可取

n1

=(0，1，0)        …（7分）
設面PBC的法向量

n2

=(x，y，z)，
則有

n2 • PB =(x，y，z)•(a，a，- 2 a)=0 n2 • BC =(x，y，z)•(-a，a，0)=0

即：

x+y- 2 z=0 -x+y=0

，取z=1，
則x=

2

2

，y=

2

2

∴

n2

=(

2

2

，

2

2

，1)…（10分）
設平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為θ，
∴cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2 2

1• 2

=

1

2

…（11分）
∴θ=60°，
所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為60°…（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，求二面角的平面角的關鍵是找到角，再求出角，解決此類問題也可以建立坐標系，利用空間向量求出空間角與空間距離．