Question

如圖，四邊形PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a．
（Ⅰ）若M為PA的中點，求證AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求三棱錐A-MDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若M為PA的中點，鏈接PC，交DE于點N，可得MN為三角形PAC的中位線，故有MN∥AC．再根據直線和平面平行的判定定理證得 AC∥平面MDE．
（Ⅱ）由題意可得CD⊥平面PAD，再由CE平行于平面PAD可得，點E到平面PAD的距離等于CD．再根據三棱錐A-MDE的體積V_A-MDE=V_E-DAM=

1

3

•S_ADM•CD，運算求得結果．

解答：證明：（Ⅰ）若M為PA的中點，鏈接PC，交DE于點N，
由四邊形PDCE為矩形，可得N為PC的中點，
故MN為三角形PAC的中位線，故有MN∥AC．
而MN?平面MDE，AC不在平面MDE內，故有AC∥平面MDE．
（Ⅱ）由于平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，
AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a，故有CD⊥平面PAD．
再由CE平行于平面PAD可得，點E到平面PAD的距離等于CD．
三棱錐A-MDE的體積V_A-MDE=V_E-DAM=

1

3

•S_ADM•CD
=

1

3

•（

1

2

•SPAD）•CD=

1

3

•（

1

2

•

1

2

a•

2

a）•2a=

2

6

•a³．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．