Question

已知F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右焦點，P是此橢圓上的一動點，并且

PF1

•

PF2

的取值范圍是[-

4

3

，

4

3

]．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）點A是橢圓的右頂點，直線y=x與橢圓交于B、C兩點（C在第一象限內），又P、Q是橢圓上兩點，并且滿足(

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

)•

F1F2

=0，求證：向量

PQ

與

AB

共線．

Answer 1

分析：（I）由題意設P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0）利用

PF1

•

PF2

的取值范圍所以∠PCQ的平分線垂直于x軸．是[-

4

3

，

4

3

]，得到a，b的方程，求解即可；
（II）有(

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

)•

F1F2

=0，而

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

與∠PCQ的平分線平行，所以∠PCQ的平分線垂直于x軸，進而建立方程，解出C點，再設出PC方程進而得到QC的方程，把它與橢圓方程聯立得到直線PQ的斜率，與直線AB比較即可求證．

解答：解：（Ⅰ）設P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
其中c=

a2-b2

，則

PF1

=(-c，0)-(x0，y0)=(-x0-c，-y0)，

PF2

=(c，0)-(x0，y0)=(c-x 0，-y0)．
從而

PF1

•

PF2

=(-x0-c，-y0)•(c-x0，-y0)=

x

2 0

-c2+

y

2 0

=

x

2 0

+

y

2 0

-c2．
由于b2≤

x

2 0

+

y

2 0

≤a2，所以 b2-c2≤

PF1

•

PF2

≤a2-c2，
即2b2-a2≤

PF1

•

PF2

≤b2．
又已知-

4

3

≤

PF1

•

PF2

≤

4

3

，
所以

2b2-a2=- 4 3 b2= 4 3

?

a2=4 b2= 4 3 .

從而橢圓的方程是

x2

4

+

3y2

4

=1．

（Ⅱ）因為(

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

)•

F1F2

=0，而

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

與∠PCQ的平分線平行，
所以∠PCQ的平分線垂直于x軸．
由

x2 4 + 3y2 4 =1 y=x

解得

x=1 y=1

∴C(1，1)．
不妨設PC的斜率為k，則QC的斜率為-k，
因此PC和QC的方程分別為y=k（x-1）+1，y=-k（x-1），
其中k≠0，由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1.

消去y并整理得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）．
∵C（1，1）在橢圓上，
∴x=1是方程（*）的一個根．
從而xP=

3k2-6k-1

1+3k2

，同理xQ=

3k2+6k-1

1+3k2

，
從而直線PQ的斜率為kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

k 2(3k2-1) 1+3k2 -2k

-12k 1+3k2

=

1

3

．
又知A（2，0），B（-1，-1），
所以kAB=

-1-0

-1-2

=

1

3

∴kPQ=kAB，
∴向量

PQ

與

AB

共線．

點評：（I）此問考查了設處點的坐標，把已知的向量關系的等式建立成坐標之間的關系式，還考查了橢圓的基本性質及求解時運用的方程的思想；
（II）此問考查了設出直線把橢圓方程與直線方程進行聯立，利用根與系數的關系求出P與Q的坐標，還考查了直線的斜率公式．