Question

(本小題滿(mǎn)分16分)

如圖，在直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)在軸上，原點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段和

的中點(diǎn)，已知（為常數(shù)），平面上的點(diǎn)滿(mǎn)足。

（1）試求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若點(diǎn)在曲線上，求證：點(diǎn)一定在某圓上；

（3）過(guò)點(diǎn)作直線，與圓相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，試求直線的方程。

Answer 1

⑴由題意可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓. ……………………（2分）

且半焦距長(zhǎng)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，則的方程為.………（5分）

⑵若點(diǎn)在曲線上，則.設(shè)，，則，. …………………………………………………………………………（7分）

代入，得_，所以點(diǎn)一定在某一圓上.

                                            ………………………………（10分）

 ⑶由題意. ………………………………………………………………（11分）

設(shè)，則.┈┈┈①

因?yàn)辄c(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，所以. 代入的方程得.┈┈┈②

聯(lián)立①②，解得，.…………………………………………………（15分）

故直線有且只有一條，方程為. ……………………………………………（16分）

（若只寫(xiě)出直線方程，不說(shuō)明理由，給1分）