Question

(14分)已知集合P={x|≤x≤2}，函數y=log₂(ax²-2x+2)的定義域是Q，

(1)若P∩Q≠φ，求實數a的取值范圍.

(2)若方程log₂(ax²-2x+2)=2在[,2]內有解，求實數a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由已知Q={x| ax²-2x+2>0}，若P∩Q≠φ，則說明在[,2]內至少有一個x值，使不等式ax²-2x+2>0成立，即在[,2]內至少有一個x值，使a> -成立，

令u= -，則只需a>u_min，又u=-2(-)²+，當x∈[,2]時，從而u∈[-4, ]，∴a>-4,∴a的取值范圍是(-4,+∞).

（2）方程log₂(ax²-2x+2)=2在[,2]內有解，則方程ax²-2x+2=4，即ax²-2x-2=0在[,2]內有解，故在[,2]內有x的值，使a=+ 成立。令u=+ .則

u=+ =2(+)²-，當x∈[,2]時，u∈[,12],∴a∈[,12].∴a的取值范圍是[,12].