Question

（本小題滿分14分）

已知集合.對于A的一個子集S，若存在不大于的正整數m，使得對于S中的任意一對元素，都有，則稱S具有性質P.

（Ⅰ）當時，試判斷集合和是否具有性質P？并說明理由.

（Ⅱ）若時

若集合S具有性質P，那么集合是否一定具有性質P？并說明理由；

若集合S具有性質P，求集合S中元素個數的最大值．

Answer 1

（共14分）

解：（Ⅰ）當時，集合,

不具有性質．   ...................................1分

因為對任意不大于10的正整數m，

都可以找到該集合中兩個元素與，使得成立．...............2分

集合具有性質．         ................................................3分

  因為可取，對于該集合中任意一對元素，

都有．              .....................................................................4分

（Ⅱ）當時，則

①若集合S具有性質，那么集合一定具有性質．...................5分

首先因為，任取 其中，

因為，所以，

從而，即所以.                  ...........................6分

 由S具有性質，可知存在不大于1000的正整數m，

使得對S中的任意一對元素，都有．

對于上述正整數m，

從集合中任取一對元素，其中，

則有,                           

所以集合具有性質．                    .............................8分

②設集合S有k個元素．由第①問知，若集合S具有性質，那么集合一定具有性質．

任給，，則與中必有一個不超過1000，

所以集合S與中必有一個集合中至少存在一半元素不超過1000，

不妨設S中有t個元素不超過1000．

由集合S具有性質，可知存在正整數，

使得對S中任意兩個元素，都有，

所以一定有.

又，故,

即集合中至少有個元素不在子集中，   

因此，所以，得，

當時，

取，則易知對集合S中任意兩個元素，

都有，即集合S具有性質，

而此時集合Ｓ中有1333個元素．

因此集合S元素個數的最大值是1333．                  .....................................14分