Question

如圖，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，已知BC=1，CC₁=2，AB=， ∠BCC₁= 。
（1）求證：C₁B⊥平面ABC；  
（2）當E為CC₁的中點時，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值。

Answer 1

證（1）因為AB⊥側面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁ 
在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2， ∠BCC₁= 
由余弦定理有    

故有  BC²+BC₁²=CC₁²
∴C₁B⊥BC  
而BC∩AB=B 且AB，BC 平面ABC      
∴C₁B⊥平面ABC  
（2）取EB₁的中點D，A₁E的中點F，BB₁的中點N，AB₁的中點M， 
連DF則DF∥A₁B₁，連DN則DN∥BE，連MN則MN∥A₁B₁ 
連MF則MF∥BE，且MNDF為矩形，MD∥AE
又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁   
故∠MDF為所求二面角的平面角
在Rt△DFM中，DF=    A₁B₁= （∵△BCE為正三角形）  

∴tan∠MDF=