Question

如圖，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=C₁C，∠BCC₁=

π

3

，
（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；
（3）在（2）的條件下，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）要證明C₁B⊥平面ABC，根據本題條件，需要證明BC₁AB⊥，由AB⊥側面BB₁C₁C就可以解決；而要證明C₁B⊥BC；則需要通過解三角形來證明；
（2）要確定E點的位置，使得EA⊥EB₁，由三垂線定理，必有BE⊥B₁E，通過解直角三角形BEB₁解決；
（3）需要作出二面角的平面角，通過解三角形解決．

解答：證明：（1）因為AB⊥側面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁，
在△BC₁C中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=

π

3

由余弦定理有：
BC1=

BC2+CC12-2•BC•CC1 • cos∠BCC1

=

1+4-2×2×cos π 3

=

3

，
故有BC²+BC₁²=CC₁²∴C₁B⊥BC，
而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC；

（2）EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，
從而B₁E⊥平面ABE，且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E，
不妨設CE=x，則C₁E=2-x，則BE²=1+x²-x，
又∵∠B1C1C=

2

3

π則B₁E²=1+x²+x，
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²-x+1=4，從而x=±1（舍負），
故E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁，

（3）取EB₁的中點D，A₁E的中點F，BB₁的中點N，AB₁的中點M
連DF，則DF∥A₁B₁，連DN則DN∥BE，連MN則MN∥A₁B₁，
連MF則MF∥BE，且MN∥DF，MD∥AE
又∵A₁B₁⊥EB₁，AE⊥EB₁，故DF⊥EB₁，MD⊥EB₁，∠MDF為所求二面角的平面角，
在Rt△DFM DF=

1

2

A1B1=

2

2

(∵△BCE為正三角形）
MF=

1

2

BE=

1

2

CE=

1

2

∴tan∠MDF=

1 2

2 2

 =

2

2

．

點評：本題考查線面垂直、線線垂直、二面角的求法，是立體幾何常考的問題，對于本題，通常的幾何推導、向量法都不好用，而選擇使用計算來證明線線關系，也是常用的證明方法之一，要根據條件適當選擇．