Question

已知向量

a

，

b

滿足

a

=(x，2)，

b

=(1，-3)，且（2

a

+

b

）⊥

b

．
（1）求向量

a

的坐標；     
（2）求向量

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）首先利用平面向量的數乘運算及坐標加法運算求出2

a

+

b

的坐標，然后直接利用向量垂直的坐標運算列式求解x的值，則向量

a

的坐標可求；
（2）直接利用兩向量的夾角公式求出兩個向量夾角的余弦值，根據夾角的范圍進一步求出兩個向量的夾角．

解答：解：（1）∵

a

=(x，2)，

b

=(1，3)，∴2

a

+

b

=2(x，2)+(1，-3)=(2x+1，1)．
又∵（2

a

+

b

）⊥

b

，∴（2x+1，1）•（1，-3）=2x+1+1×（-3）=0
解得x=1，∴

a

=(1，2)；
（2）設向量

a

與

b

的夾角為θ，∵cosθ=

a • b

| a || b |

∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

(1，2)•(1，-3)

1+22 1+(-3)2

=-

2

2

∵0≤θ≤π，∴向量與的夾角θ=

3π

4

．

點評：本題考查向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了兩個向量的夾角公式，考查計算能力，是基礎題．