Question

（本小題滿分12分）如圖，，分別是橢圓（＞＞0）的左、右焦點，M為橢圓上一點，垂直于軸，橢圓下頂點和右頂點分別為A、B，且OM//AB

（1）求橢圓的離心率；

（2）過作于OM垂直的直線交橢圓于點P、Q，若, 求橢圓的方程。

Answer 1

（1）設F1(-c,0),F2(c,0)

                則M（c,y）  ∴A(0,-b),B(a,0)

                       且OM‖AB,   ∴KOM=KAB…………………………………………3分

                       ∴= ,   y=

           又點M在橢圓上

                       ∴  + = 1

                       ∴e=………………………………………………………5分

       （2）由（1）得a=c, b=c

                       ∴橢圓議程為+ = 1，      ∵KAB=,

                       ∴直線PQ的方程為y=-(x-c)

                       ∴點F1到直線PQ的距離d=c

                       又由，

設P(x1,y1), Q(x2,y2)

                       ∴x1+x2=c,  x1x2 = …………………………………………7分

           ∴|PQ|＝|x1-x2|=c…………………………………10分

            S△PQF1=1/2+c·c=20

           ∴ c2=

                     ∴ a2= ,  b2=

                     ∴橢圓方程為+=1………………………………12分