Question

已知f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數，當x∈[0，4]時，f（x）=2x-x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式 2f(x)＞

1

8

．

Answer 1

分析：（1）令-4≤x≤0，則0≤-x≤4，結合0≤x≤4時f（x）的解析式，可求得x＜0時的函數解析式，綜合可得答案；
（2）由指數冪的運算，可將原不等式轉化為2^f（x）＞2^-3，再結合指數函數的性質，可將原不等式轉化為f（x）＞-3，由（1）求得的f（x）的解析式，分段討論，求出x的范圍，綜合可得答案．

解答：解：（1）當-4≤x≤0時，則0≤-x≤4，
f（x）=-f（-x）=-[2（-x）-（-x）²]=2x+x²，
則f（x）=

2x-x2(0≤x≤4) 2x+x2(-4≤x＜0)

；
（2）由2^-3=

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8

，則2f(x)＞

1

8

?2^f（x）＞2^-3，
又由y=2^x為增函數，則原不等式可化為f（x）＞-3，
當0≤x≤4時，f（x）=2x-x²＞-3，解可得-1＜x＜3，又由0≤x≤4，則x的范圍是0≤x＜3；
當-4≤x＜0時，f（x）=2x+x²＞-3，即x²+2x+3＞0，變形可得（x+1）²+2＞0，
易得其在-4≤x＜0恒成立，則x的范圍是-4≤x＜0；
綜合可得，x的取值范圍是-4≤x＜3．

點評：本題考查了利用函數的奇偶性求解函數的解析式，以及指數函數的性質應用；屬于函數知識的綜合應用，注意對于函數的解析式要用分段函數的形式．