Question

.數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對于任意，總有成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且，求證:對任意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，＝2.71828）和任意正整數(shù)，總有 2；(Ⅲ) 正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最大項(xiàng).

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  略 （Ⅲ）

（Ⅰ）解：由已知：對于，總有 ①成立∴ 
（n ≥ 2）② …1分
①--②得∴
∵均為正數(shù)，∴（n ≥ 2） ∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列…3分又n=1時(shí)，， 解得=1∴.()  …5分
（Ⅱ）證明：∵對任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)n，總有≤.……6分
∴
 …9分
(Ⅲ)解：由已知 ，

易得　猜想 n≥2 時(shí)，是遞減數(shù)列. …11分
令
∵當(dāng)
∴在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).
由.
∴n≥2 時(shí), 是遞減數(shù)列.即是遞減數(shù)列.
又 , ∴數(shù)列中的最大項(xiàng)為.…13分