Question

已知定義在R上恒不為0的函數(shù)y=f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，滿(mǎn)足f（x）＞1，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）證明f(-x)=-

1

f(x)

； 
（3）證明函數(shù)y=f（x） 是R上的增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，
（2）觀察恒等式發(fā)現(xiàn)若令y=-x，則由f（x+y）=f（x）f（y），證明出f（0）=1=f（x）f（-x），則問(wèn)題迎刃而解；
（3）由題設(shè)條件對(duì)任意x₁、x₂在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可．

解答：解：（1）由題設(shè)，令x=y=0，
恒等式可變?yōu)閒（0+0）=f（0）f（0），
解得f（0）=1，
（2）令y=-x，則 由f（x+y）=f（x）f（y）得
f（0）=1=f（x）f（-x），即得f(-x)=-

1

f(x)

．
（3）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
由題設(shè)x＞0時(shí)，f（x）＞1，可得f（x₂-x₁）＞1，
f（x₂）=f（x₁）f（x₂-x₁）⇒f（x₂）÷f（x₁）=f（x₂-x₁）＞1，
又f（

1

2

x₁+

1

2

x₁）=f（

1

2

x₁）f（

1

2

x₁）=f ²（

1

2

x₁）≥0⇒f（x₁）≥0，
故有f（x₂）＞f（x₁）
所以 f（x）是R上增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查用賦值法求函數(shù)值證明函數(shù)的奇偶性，以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，此類(lèi)題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問(wèn)題的組合來(lái)．