Question

已知定義在R上恒不為0的函數y=f（x），當x＞0時，滿足f（x）＞1，且對于任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）證明； 
（3）證明函數y=f（x） 是R上的增函數．

Answer 1

【答案】分析：（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，
（2）觀察恒等式發現若令y=-x，則由f（x+y）=f（x）f（y），證明出f（0）=1=f（x）f（-x），則問題迎刃而解；
（3）由題設條件對任意x₁、x₂在所給區間內比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可．
解答：解：（1）由題設，令x=y=0，
恒等式可變為f（0+0）=f（0）f（0），
解得f（0）=1，
（2）令y=-x，則 由f（x+y）=f（x）f（y）得
f（0）=1=f（x）f（-x），即得．
（3）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
由題設x＞0時，f（x）＞1，可得f（x₂-x₁）＞1，
f（x₂）=f（x₁）f（x₂-x₁）⇒f（x₂）÷f（x₁）=f（x₂-x₁）＞1，
又f（x₁+x₁）=f（x₁）f（x₁）=f ²（x₁）≥0⇒f（x₁）≥0，
故有f（x₂）＞f（x₁）
所以 f（x）是R上增函數．
點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查用賦值法求函數值證明函數的奇偶性，以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．