Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥面ABCD且|PA|=1．

(1)BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；

(2)若BC邊上存在唯一的點Q使得PQ⊥QD，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面PDQ所成的角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，求二面角Q—PD—A的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

當a≥2時才存在；；

提示：

(1)若BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD．矩形ABCD中，當a＜2時，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點Q使AQ⊥QD，故僅當a≥2時才存在點Q使PQ⊥QD； (2)當a=2時，以AD為直徑的圓與BC相切于Q，此時Q是唯一的點使∠AQD為直角，且Q為BC的中點.作AH⊥PQ于H，可證∠ADH為AD與平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求得sinADH=; (3)作AG⊥PD于G，可證∠AGH為二面角Q—PD—A的平面角，且在Rt△PAD中可求得sinAGH=．