Question

已知在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且tanB=

3 ac

a2+c2-b2

，
（I）求∠B；
（II）求函數f（x）=sinx+2sinBcosx，（x∈[0，

π

2

]）的最小值及單調遞減區間．

Answer 1

分析：（I）在銳角△ABC中，由tanB=

3 ac

a2+c2-b2

=

3 ac

2ac•cosB

=

3

2cosB

，求得sinB的值，即可求得B的值．
（II）利用兩角和差的正弦公式化簡 函數f（x）的解析式2sin（x+

π

3

），再根據正弦函數的定義域和值域求得它的最小值，令 2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，
即可求得函數的減區間．

解答：解：（I）在銳角△ABC中，∵tanB=

3 ac

a2+c2-b2

=

3 ac

2ac•cosB

=

3

2cosB

，∴sinB=

3

2

，B=

π

3

．
（II）∵函數f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+

3

cosB=2sin（x+

π

3

），x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

3

∈[

π

3

 

5π

6

]，
故當x+

π

3

=

5π

6

時，2sin（x+

π

3

）取得最小值為 2×

1

2

=1．
令 2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

，k∈z．
故函數的減區間為[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈z．

點評：本題主要考查余弦定理的應用，根據三角函數的值求角，兩角和差的正弦公式，正弦函數的定義域和值域及其單調性，屬于中檔題．