Question

已知拋物線y=x²-4與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為l₁和l₂．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求直線l₁與l₂的夾角．

Answer 1

分析：（1）聯立拋物線和直線方程求得交點的坐標．
（2）對拋物線方程進行求導，把交點橫坐標代入求得切線的斜率，進而用正切的兩角和公式求得答案．

解答：解：（1）聯立拋物線和直線方程得

y=x 2-4 y=x+2

解得

x=3 y=5

或

x=-2 y=0

故A，B的坐標分別為（3，5）（-2，0）
（2）∵拋物線y=x²-4
∴y′=2x，
∵A，B的坐標分別為（3，5）（-2，0）
∴直線l₁的斜率k₁=6，直線l₂的斜率k₂=-4，
∴兩直線的夾角的正切值為

6+4

1-24

=-

10

23

∴兩直線的夾角為arctan（-

10

23

）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及了曲線的焦點，切線，斜率等問題，解題的關鍵是通過導函數來解決曲線的切線問題．