Question

求經過點P（3，1）且與圓x²+y²=9相切的直線方程．

Answer 1

解法一：當過點P的切線斜率存在時，設所求切線的斜率為k，
由點斜式可得切線方程為y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
∴

|-3k+1|

k2+1

=3，解得k=-

4

3

．
故所求切線方程為-

4

3

x-y+4+1=0，即4x+3y-15=0．
當過點P的切線斜率不存在時，方程為x=3，也滿足條件．
故所求圓的切線方程為4x+3y-15=0或x=3．
解法二：設切線方程為y-1=k（x-3），與圓的方程聯立，消去y并整理得（k²+1）x²-2k（3k-1）x+9k²-6k-8=0．
因為直線與圓相切，所以△=0，即[-2k（3k-1）]²-4（k²+1）（9k²-6k-8）=0．
解得k=-

4

3

，
所以切線方程為4x+3y-15=0．
又過點P（3，1）與x軸垂直的直線x=3也與圓相切，故所求圓的切線方程為4x+3y-15=0或x=3．