Question

求經過點P（3，1）且與圓x²+y²=9相切的直線方程．

Answer 1

解：解法一：當過點P的切線斜率存在時，設所求切線的斜率為k，
由點斜式可得切線方程為y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
∴=3，解得k=-．
故所求切線方程為-x-y+4+1=0，即4x+3y-15=0．
當過點P的切線斜率不存在時，方程為x=3，也滿足條件．
故所求圓的切線方程為4x+3y-15=0或x=3．
解法二：設切線方程為y-1=k（x-3），與圓的方程聯立，消去y并整理得（k²+1）x²-2k（3k-1）x+9k²-6k-8=0．
因為直線與圓相切，所以△=0，即[-2k（3k-1）]²-4（k²+1）（9k²-6k-8）=0．
解得k=-，
所以切線方程為4x+3y-15=0．
又過點P（3，1）與x軸垂直的直線x=3也與圓相切，故所求圓的切線方程為4x+3y-15=0或x=3．
分析：解法一：將點P（3，1）代入圓的方程得3²+1²=10＞9，所以點P在圓外，可設過點P的圓的切線斜率為k，寫出點斜式方程再化為一般式．根據圓心到切線的距離等于圓的半徑這一性質，由點到直線的距離公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所設切線方程即可．
解法二：直線與圓相切，就是直線與圓有唯一公共點，于是將兩曲線方程聯立所得的方程組有唯一解，從而方程判別式△=0，由此解得k值，然后回代所設切線方程即可．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查切線方程．若點在圓外，所求切線有兩條，特別注意當直線斜率不存在時的情況，不要漏解．