Question

已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證：

b+c-a

a

+

a+c-b

b

+

a+b-c

c

＞3．

Answer 1

分析：根據(jù)a，b，c全不相等，推斷出

b

a

與

a

b

，

c

a

與

a

c

，

c

b

與

b

c

全不相等，然后利用基本不等式求得

b

a

+

a

b

＞2，

c

a

+

a

c

＞2，

c

b

+

b

c

＞2，三式相加整理求得

b+c-a

a

+

a+c-b

b

+

a+b-c

c

＞3，原式得證．

解答：解：∵a，b，c全不相等，
∴

b

a

與

a

b

，

c

a

與

a

c

，

c

b

與

b

c

全不相等
∴

b

a

+

a

b

＞2，

c

a

+

a

c

＞2，

c

b

+

b

c

＞2
三式相加得，

b

a

+

c

a

+

c

b

+

a

b

+

a

c

+

b

c

＞6
∴(

b

a

+

c

a

-1)+(

c

b

+

a

b

-1)+(

a

c

+

b

c

-1)＞3
即

b+c-a

a

+

a+c-b

b

+

a+b-c

c

＞3

點(diǎn)評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．使用基本不等式時一定要把握好“一定，二正，三相等”的原則．