Question

（本小題滿分12分）

已知函數其中a為常數，且．

（Ⅰ）當時，求在（e=2．718 28…）上的值域；

（Ⅱ）若對任意恒成立，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）當時，

    得                                                           ………………………1分

    令，即，解得，所以函數在上為增函數，

    據此，函數在上為增函數，                         ………………………3分

    而，，所以函數在上的值域為

                                                                                          ………………………4分

（Ⅱ）由令，得即

      當時，，函數在上單調遞減；

      當時，，函數在上單調遞增；…………………5分

      若，即，易得函數在上為增函數，

此時，，要使對恒成立，只需即可，

所以有，即

而，即，所以此時無解.

………………………7分

若，即，易知函數在上為減函數，在上為增函數，

要使對恒成立，只需，即，

由和

得.                                                  ………………………9分

      若，即，易得函數在上為減函數，

此時，，要使對恒成立，只需即可，

所以有，即，又因為，所以.     …………………11分

      綜合上述，實數a的取值范圍是.                ……………………12分