Question

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.
⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
⑵設(shè)，求證：；
⑶設(shè)，，求.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

解析試題分析：（1）一般數(shù)列問(wèn)題中出現(xiàn)數(shù)列前的和與其項(xiàng)時(shí)，則可利用關(guān)系找出數(shù)列的遞推關(guān)系，本題可從此入手，證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)由(1)可求出，根據(jù)此式的結(jié)構(gòu)特征，可得，利用裂項(xiàng)相消法求其前的和后再予以判斷；(3)根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(等差乘等比型)可用錯(cuò)位相減法求和.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，應(yīng)緊扣定義，通過(guò)對(duì)所給條件變形，得到遞推關(guān)系，而等差乘等比型數(shù)列的求和最常用的就是錯(cuò)位相減法，使用這個(gè)方法在計(jì)算上要有耐心和細(xì)心，注意各項(xiàng)的符號(hào)，防止出錯(cuò).
試題解析：⑴證明：，當(dāng)時(shí)，或，又.            1分
由，得，

數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；            4分
⑵證明：由⑴知，，

.            8分
⑶，，      ①
         ②
由①－②得，
.            12分
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法.