Question

已知如圖所示的多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，BF∥DE，且BF=2DE=4．
（1）求多面體ABCDEF的體積；
（2）在棱長FC上是否存在一點P，使EP∥ABCD？

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由于DE⊥平面ABCD，BF∥DE，可得平面BDEF⊥平面ABCD．由于底面ABCD是邊長為2的正方形，可得AC⊥BD，梯形BDEF的面積S=

(DE+BF)×BD

2

．可得多面體ABCDEF的體積=

1

3

×AC×S．
（2）在棱長FC上存在一點P為FC的中點，使EP∥平面ABCD．分別取FC，BC的中點P，Q，連接EP，PQ，DQ．由三角形的中位線定理可得：DE

∥

.

PQ，因此四邊形DEPQ是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明．

解答： 解：（1）∵DE⊥平面ABCD，BF∥DE，
∴平面BDEF⊥平面ABCD．
∵底面ABCD是邊長為2的正方形，
∴AC⊥BD，
∴多面體ABCDEF的體積=V_{四棱錐A-BDEF}+V_{四棱錐C-BDEF}．
∵梯形BDEF的面積S=

(DE+BF)×BD

2

=

(2+4)×2 2

2

=6

2

．
∴多面體ABCDEF的體積=

1

3

×AC×S=

1

3

×2

2

×6

2

=8．
（2）分別取FC，BC的中點P，Q，連接EP，PQ，DQ．
由三角形的中位線定理可得：PQ

∥

.

1

2

BF，
又∵DE

∥

.

1

2

BF，
∴DE

∥

.

PQ，
∴四邊形DEPQ是平行四邊形，
∴EP∥DQ，
∵EP?平面ABCD，DQ?平面ABCD，
∴EP∥平面ABCD，
因此在棱長FC上存在一點P為FC的中點，使EP∥平面ABCD．

點評：本題考查了線面面面平行與垂直的判定與性質定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質定理、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．