Question

（08年周至二中四模理）(12分) 已知函數f(x)=，記數列{a_n}的前n項和為S_n，且有a₁=f(1),當n≥2時，S_n－(n²+5n－2).

(1)計算a₁，a₂，a₃，a₄;

(2)求出數列{a_n}的通項公式，并給予證明.

Answer 1

解析： (1)由已知，當n≥2時，f(a_n)=,

∵S_n－，  ∴S_n－(n²+5n－2),

即S_n+a_n=(n²+5n+2).      又a₁=f(1)=2,

由S₂+a₂=a₁+2a₂=(2²+5×2+2),       得a₂=3;

由S₃+a₃=a₁+a₂+2a₃=(3²+5×3+2),  解得a₃=4;

由S₄+a₄=a₁+a₂+a₃+2a₄=(4²+5×4+2) ,解得a₄=5.                                                  6分

(2)則a₁=2,a₂=3,a₃=4,a₄=5,于是猜想：a_n=n+1(n∈N).                                               8分

以下用數學歸納法證明：

(a)當n=1時命題成立.

(b)設n=k時，a_k=k+1(k∈N).   由S_k+1+a_k+1=［(k+1)²+5(k+1)+2］,

a₁+a₂+…+a_k+2a_k+1=(k²+7k+8),

2a_k+1=(k²+7k+8)－(2+3+…+k+1)=(k²+7k+8)－=(k²+7k+8－k²－3k)=2k+4.

a_k+1=(k+1)+1,      即當n=k+1時命題也成立.

故由(a)、(b)知對一切n∈N均有a_n=n+1.