Question

【題目】已知函數(shù)，直線l：．

求的單調(diào)增區(qū)間；

求證：對于任意，直線l都不是線的切線；

試確定曲線與直線l的交點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，；（2）見證明；（3）見解析

【解析】

求出函數(shù)定義域，求導，令，即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

假設存在某個，使得直線l與曲線相切，設切點為，求出切線滿足斜率，推出，此方程顯然無解，假設不成立推出直線l都不是曲線的切線；

“曲線與直線l的交點個數(shù)”等價于“方程的根的個數(shù)”，令，則，其中，且函數(shù)，其中，求出導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出曲線與直線l交點個數(shù)．

，解：函數(shù)定義域為，

，

由，解得或．

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；

證明：假設存在某個，使得直線l與曲線相切，

設切點為，

又，

切線滿足斜率，且過點A，

，

即，此方程顯然無解，

假設不成立．

故對于任意，直線l都不是曲線的切線；

解：“曲線與直線l的交點個數(shù)”等價于“方程的根的個數(shù)”．

由方程，得．

令，則，其中，且．

考察函數(shù)，其中，

，

函數(shù)在R單調(diào)遞增，且．

而方程中，，且．

當時，方程無根；當時，方程有且僅有一根，

故當時，曲線與直線l沒有交點，

而當時，曲線與直線l有且僅有一個交點．