Question

甲、乙兩地相距S（千米），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度最大不得超過c（千米/小時）．已知汽車每小時的運輸成本（元）由可變部分與固定部分組成．可變部分與速度v（千米/小時）的平方成正比，且比例系數為正常數b；固定部分為a元．
（1）試將全程運輸成本Y（元）表示成速度V（千米/小時）的函數．
（2）為使全程運輸成本最省，汽車應以多大速度行駛？

Answer 1

解：（1）依題意得，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為y=a•+bv²•=s（+bv），
故所求函數為y=s（+bv），其定義域為v∈（0，c）
（2）∵s、a、b、v∈R⁺，∴s（+bv）≥2s，當且僅當=bv時取等號，此時v=
若≤c，即v=時，全程運輸成本最小．
若＞c，則當v∈（0，c）時，y=s（+bv）-s（+bc）=（c-v）（a-bcv）
∵c-v≥0，且a＞bc²，故有a-bcv≥a-bc²＞0
∴s（+bv）≥s（+bc），當且僅當v=c時取等號，即v=c時全程運輸成本最小．
分析：（1）確定汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間，從而可得全程運輸成本關于速度的函數；
（2）利用基本不等式，再分類討論，即可求得最值．
點評：本題考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．