Question

甲、乙兩地相距S（千米），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度最大不得超過c（千米/小時）．已知汽車每小時的運輸成本（元）由可變部分與固定部分組成．可變部分與速度v（千米/小時）的平方成正比，且比例系數為正常數b；固定部分為a元．

(1) 試將全程運輸成本Y(元)表示成速度V(千米/小時)的函數.

(2) 為使全程運輸成本最省，汽車應以多大速度行駛？

Answer 1

(1) y＝s(＋bv)v∈(0,c)， (2) 若≤c即v＝時，全程運輸成本最小．

若>c， v＝c時全程運輸成本最小．

解析:

(1) 依題意得，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為y＝a·＋bv²·＝s(＋bv)，故所求函數及其定義域為y＝s(＋bv)v∈(0,c)

(2) ∵s、a、b、v∈R⁺，故s(＋bv)≥2s 當且僅當＝bv時取等號，此時v＝

若≤c即v＝時，全程運輸成本最小．

若>c，則當v∈(0，c)時，

y＝s(＋bv)－s(＋bc)＝(c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0，且a>bc，故有a－bcv≥a－bc²>0

∴ s(＋bv)≥s(＋bc)，且僅當v＝c時取等號，即v＝c時全程運輸成本最小．