Question

已知A，B是雙曲線的兩個頂點，點P是雙曲線上異于A，B的一點，連接PO（O為坐標原點）交橢圓于點Q，如果設直線PA，PB，QA的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且，假設k₃＞0，則k₃的值為

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：由雙曲線可得兩個頂點A（-2，0），B（2，0）．設P（x₀，y₀），則，可得．于是k_PA+k_PB===．同理設Q（x₁，y₁），由k_OP=k_OQ得．得到k_QA+k_QB=．可得k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，由，可得k_QA+k_QB=．又k_QA•k_QB=-，聯立解得k_QA．
解答：由雙曲線可得兩個頂點A（-2，0），B（2，0）．設P（x₀，y₀），則，可得．
∴k_PA+k_PB===．
設Q（x₁，y₁），則，得到．
由k_OP=k_OQ得．
∴k_QA+k_QB===，
∴k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，
∵，∴k_QA+k_QB=…①
又k_QA•k_QB=-=-…②
聯立①②解得k_QA=2＞0．
故選C．
點評：熟練掌握雙曲線、橢圓的標準方程、斜率的計算公式及其有關結論是解題的關鍵．