Question

已知A，B是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個頂點，P為雙曲線上（除頂點外）的一點，若直線PA，PB的斜率乘積為

1

2

，則雙曲線的離心率e=（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  6

  2

• C．

  2

• D．

  15

  3

Answer 1

分析：根據題意得A（-a，0），B（a，0）．設P（m，n），利用直線的斜率公式算出k_PA•k_PB=

n2

m2-a2

．由點P是雙曲線上的點，坐標代入雙曲線方程化簡整理得n2=

b2(m2-a2)

a2

，從而得出k_PA•k_PB=

b2

a2

=

1

2

，由此得到a、c的關系式，從而解出雙曲線的離心率e的值．

解答：解：由題意，可得A（-a，0），B（a，0），設P（m，n）
∴k_PA•k_PB=

n-0

m+a

•

n-0

m-a

=

n2

m2-a2

．
∵點P是雙曲線上的點，可得

m2

a2

-

n2

b2

=1，化簡整理得n2=

b2(m2-a2)

a2

．
∴k_PA•k_PB=

b2(m2-a2) a2

m2-a2

=

b2

a2

∵直線PA，PB的斜率乘積為

1

2

，即k_PA•k_PB=

1

2

，
∴

b2

a2

=

1

2

，可得

c2-a2

a2

=

1

2

，即

c2

a2

-1=

1

2

∴

c2

a2

=

3

2

，可得e=

c

a

=

3 2

=

6

2

．
故選：B

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率．著重考查了直線的斜率公式、雙曲線的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．